勒让德变换 Legendre Transformation

勒让德变换（Legendre Transformation）在数学上是一种从一组独立变量到另一组独立变量的变换。它在物理领域有着广泛的应用，如经典力学中的Lagrange力学和Hamilton力学之间的坐标和速度转换，以及热力学函数之间的变换。

1. 单变量函数的Legendre变换

考虑函数f，它是关于x的一元函数，具有全微分df。若想用切线斜率来定出f在某点的函数值，还需要知道这条切线在纵轴的截距，我们记为c，从而定出f(x)。由于上式对任意x都成立，我们可以扩展到任意位置。如果x和f(x)之间是一一对应的映射，则反函数存在，截距可以表示为-c。我们把-c称为f的Legendre变换，记为f*。

2. 二元函数的Legendre变换

考虑二元函数f，其全微分表示为df。若想从独立变量x变到独立变量y，我们可以表示为f。对f关于y求偏导得到f'，从式（10）可知，Legendre变换f*为f(y) - yf'(y)。

3. 多元函数的Legendre变换

多元函数f的Legendre变换为f* = f(x) - ∂f/∂x。

4. 经典力学中的应用——拉格朗日量到哈密顿量的变换

经典Lagrangian为L = T - V，其中T为动能，V为势能。利用Euler-Lagrange方程，对L求全微分得到广义动量。Hamiltonian H是广义坐标、广义动量和时间的函数，通过Legendre变换，我们可以得到H的全微分。比对H的全微分和Euler-Lagrange方程，我们可以得到Hamilton正则运动方程。

5. 热力学中的应用

热力学基本方程是内能的全微分dU。对dU中的一些变量进行Legendre变换，可以得到焓、亥姆霍兹自由能和吉布斯自由能的微分。记住热力学基本方程，就可以推导出其他相关公式和Mexwell关系。