∫x*arcsinx 求不定积分 谢谢

x乘以arcsinx的不定积分怎么求？

分部积分法
∫xarcsinxdx
=∫arcsinxd(x²/2)
=(x²/2)arcsinx-∫(x²/2)darcsinx
=(x²/2)arcsinx-∫(x²/2)/√(1-x²)dx
=(x²/2)arcsinx+(1/2)∫(-x²)/√(1-x²)dx
=(x²/2)arcsinx+(1/2)∫[(1-x²)-1]/√(1-x²)dx
=(x²/2)arcsinx-(1/2)arcsinx+(1/2)∫√(1-x²)dx ①
又
∫√(1-x²)dx
=x√(1-x²)-∫xd√(1-x²)
=x√(1-x²)-∫[(-x²)/√(1-x²)]dx
=x√(1-x²)-∫[(1-x²+1)/√(1-x²)]dx
=x√(1-x²)-arcsinx-∫√(1-x²)dx
移项后两边同除以2得
∫√(1-x²)dx=(1/2)[x√(1-x²)-arcsinx]+2C
代入①得
∫xarcsinxdx
=(x²/2)arcsinx-(1/2)arcsinx+(1/4)[x√(1-x²)-arcsinx]+C
=(1/4)[(2x²-3)arcsinx+x√(1-x²)]+C

具体回答如下：
∫ arcsinx dx
=xarcsinx-∫ x/√(1-x²) dx
=xarcsinx-1/2∫ 1/√(1-x²) d(x²)
=xarcsinx+√(1-x²) +C
不定积分的意义：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

∫ xarcsinx dx
= ∫ arcsinx d(x²/2)
= (x²/2)(arcsinx) - (1/2)∫ x²*(arcsinx)' dx
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ x²/√(1-x²) dx
令x=siny，dx=cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ sin²y/cosy * cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)∫ (1-cos2y) dy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)(y-1/2*sin2y) + C
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C

另x=sin(t)
x*arcsin(x)dx=sin(t)*t*cos(t)dt=1/8*sin(2t)*2td2t
然后对变量2t用分部积分法，就得到：
1/8(-2t*cos(2t)-∫(-cos(2t))d2t)=1/8(-2t*cos(2t)+sin(2t))
然后把x=sin(t)带入用x表达即可